Водородоподобные атомы

Водородоподобные атомы представляют собой системы с одним электроном, движущимся в кулоновском поле ядра с зарядом +Ze, где Z — заряд ядра. Эти системы служат фундаментальной моделью для понимания квантовой структуры атомов и молекул.

Уравнение Шрёдингера для водородоподобного атома

Нелокализованная динамика электрона описывается временем-зависимым уравнением Шрёдингера:

$$ i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},t) = \hat{H} \Psi(\mathbf{r},t), $$

где гамильтониан системы имеет вид:

$$ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla^2 - \frac{Ze^2}{4 \pi \varepsilon_0 r}. $$

Здесь μ — редуцированная масса электрона, учитывающая массу ядра, r = |r| — радиус-вектор электрона относительно ядра. Потенциал кулоновской связи имеет сферическую симметрию, что позволяет использовать разделение переменных в сферических координатах (r, θ, ϕ).

Разделение переменных и волновые функции

Решение стационарного уравнения Шрёдингера:

Ĥψ(r) = Eψ(r)

можно представить в виде:

ψ_nℓm(r, θ, ϕ) = R_nℓ(r)Y_ℓm(θ, ϕ),

где Y_ℓm(θ, ϕ) — сферические гармоники, определяющие угловую зависимость, а R_nℓ(r) — радиальная функция, зависящая от главного n и орбитального ℓ квантовых чисел.

Квантовые числа и их физический смысл

Главное квантовое число n: определяет энергетический уровень и радиальный размер орбитали.
Орбитальное квантовое число ℓ: связано с угловым моментом электрона $L = \hbar \sqrt{\ell(\ell+1)}$.
Магнитное квантовое число m: проекция углового момента на выбранную ось, принимает значения −ℓ, …, +ℓ.

Энергетические уровни водородоподобного атома задаются формулой:

$$ E_n = - \frac{\mu Z^2 e^4}{2 (4\pi \varepsilon_0)^2 \hbar^2 n^2} = - \frac{R_H Z^2}{n^2}, $$

где R_H — постоянная Ридберга для водорода. Энергетические уровни зависят только от n, что приводит к вырожденности по ℓ и m.

Радиальные волновые функции

Радиальная часть решения представляется через функции Лагерра:

$$ R_{n\ell}(r) = \sqrt{\left( \frac{2Z}{n a_0} \right)^3 \frac{(n-\ell-1)!}{2n [(n+\ell)!]}} e^{-\rho/2} \rho^\ell L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}(\rho), $$

где $\rho = \frac{2Zr}{n a_0}$, a₀ — боровский радиус. Эти функции определяют распределение вероятности нахождения электрона на различных расстояниях от ядра.

Симметрия и вырождение уровней

Для водородоподобного атома существует дополнительная динамическая симметрия, связанная с вектором Лапласа–Рунге–Ленца, что объясняет вырожденность уровней по ℓ при фиксированном n. Это свойство существенно упрощает теоретическое описание и расчет спектров.

Спектры водородоподобных атомов

Переходы между уровнями n сопровождаются испусканием или поглощением фотонов с энергией:

ΔE = E_{n_i} − E_{n_f} = hν.

Выражение для длины волны излучения формируется через формулу Ридберга:

$$ \frac{1}{\lambda} = R_H Z^2 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right). $$

Спектры таких атомов демонстрируют характерные серии, например, Лаймана, Бальмера и Пасхена, каждая из которых соответствует переходам к определенному n_f.

Влияние спина и спин–орбитального взаимодействия

Электрон обладает собственным спином s = 1/2, что приводит к дополнительным энергетическим расщеплениям при учете взаимодействия спина с орбитальным моментом:

Ĥ_SO = ξ(r)L ⋅ S.

Эффект спин–орбитального взаимодействия приводит к дроблению спектральных линий, важному для точного описания реальных атомов с Z > 1.

Роль водородоподобных атомов в химии

Эти системы служат базовой моделью для изучения химической связи, радиусов орбиталей и распределений электронов. Они дают фундамент для методов квантовой химии, включая приближения Хартри–Фока и теорию функционала плотности, где один электрон рассматривается в эффективном потенциале.

Водородоподобные атомы также являются эталоном для калибровки спектроскопических инструментов и проверки точности квантово-химических расчетов. Их аналитические решения позволяют получать точные значения энергии, плотностей вероятности и радиусных распределений, что критически важно для понимания более сложных многoэлектронных систем.