Теорема Блоха

Теорема Блоха является одним из фундаментальных положений квантовой механики, применяемой к периодическим системам, прежде всего к кристаллам. Она формулирует строгий вид волновых функций для электронов, движущихся в периодическом потенциале, и служит основой зонной теории твёрдого тела.

Периодический потенциал

В идеальном кристалле атомы расположены строго периодически, что приводит к появлению потенциала V(r), обладающего трансляционной симметрией:

V(r + R) = V(r),

где R — вектор трансляции решётки, который можно выразить через базисные векторы кристаллической решётки:

R = n1a1 + n2a2 + n3a3,  ni ∈ ℤ.

Наличие такой симметрии накладывает жёсткие условия на решения уравнения Шрёдингера для электронов в кристалле.

Формулировка теоремы

Для гамильтониана электрона в периодическом потенциале

$$ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}), $$

собственные функции могут быть представлены в виде

ψnk(r) = eik ⋅ runk(r),

где unk(r) — функция, обладающая периодичностью решётки:

unk(r + R) = unk(r).

Таким образом, каждая волновая функция в периодическом потенциале является произведением плоской волны и периодической функции.

Квантовые числа и зона Бриллюэна

Вектор k в теореме Блоха играет роль квазиимпульса и является основным квантовым числом для электронов в кристалле. Его значения ограничены первой зоной Бриллюэна, которая представляет собой примитивную ячейку обратной решётки.

Энергетический спектр электронов в кристалле образует набор зон, каждая из которых соответствует фиксированному индексу n. Между зонами могут возникать запрещённые интервалы энергии (зонные щели), определяющие электронные свойства вещества.

Физический смысл

Теорема Блоха демонстрирует, что несмотря на сложность кристаллического потенциала, поведение электронов можно описывать с помощью квази-свободных частиц, движущихся как плоские волны, но с поправкой на периодическую структуру среды. Именно это свойство приводит к появлению зонной структуры и объясняет такие явления, как различие между проводниками, полупроводниками и диэлектриками.

Следствия

  • Зонная структура: энергия электронов в кристалле не принимает непрерывный набор значений, а формирует энергетические зоны.
  • Эффективная масса: поведение электронов вблизи краёв зон описывается через эффективную массу, отличную от массы свободного электрона.
  • Квазичастицы: электроны в кристалле теряют индивидуальные свойства свободных частиц и описываются как квазичастицы, взаимодействующие с решёткой.
  • Оптические и электрические свойства: теорема Блоха является основой понимания проводимости, фотопоглощения и других ключевых процессов в твёрдом теле.

Математические методы анализа

Практическое использование теоремы связано с применением разложения функций unk(r) в ряд по плоским волнам или атомным орбиталям. Среди методов, опирающихся на неё, — метод плоских волн, приближение сильной связи, а также современные численные подходы в теории функционала плотности.

Таким образом, теорема Блоха является краеугольным камнем квантовой химии и физики твёрдого тела, так как она формирует основу для описания электронных состояний в периодических системах и предопределяет понимание фундаментальных свойств материалов.

Оглавление