Статистическая интерпретация квантовой механики основывается на том, что волновая функция ψ не описывает поведение отдельной частицы напрямую, а характеризует вероятностное распределение её измеряемых свойств. Ключевое отличие от классической механики заключается в том, что положение и импульс частицы не могут быть заданы точно одновременно, а наблюдаемые величины имеют распределение вероятностей.
В квантовой механике состояние системы определяется волновой функцией ψ(x, t). Вероятность обнаружения частицы в элементе объёма dx в точке x в момент времени t вычисляется как:
P(x, t) = |ψ(x, t)|2dx
где |ψ(x, t)|2 называется плотностью вероятности. Интеграл по всей области определения волновой функции равен единице:
∫−∞∞|ψ(x, t)|2dx = 1
Это условие нормировки отражает полную вероятность обнаружения частицы где-либо в пространстве.
Каждая наблюдаемая величина A связана с линейным эрмитовым оператором Â. Математически, измерение значения a наблюдаемой величины в состоянии ψ сопровождается тем, что система “коллапсирует” в собственное состояние ϕa оператора Â:
Âϕa = aϕa
Вероятность обнаружения значения a вычисляется как модуль квадрата проекции текущего состояния на собственное состояние:
P(a) = |⟨ϕa|ψ⟩|2
Среднее значение наблюдаемой величины A в состоянии ψ определяется как математическое ожидание:
⟨A⟩ = ⟨ψ|Â|ψ⟩
Дисперсия измерений, отражающая неопределённость величины, вычисляется через:
(ΔA)2 = ⟨ψ|Â2|ψ⟩ − ⟨ψ|Â|ψ⟩2
Этот формализм подчёркивает, что квантовая механика intrinsically probabilistic, а не детерминированна, как классическая.
Статистическая интерпретация тесно связана с принципом суперпозиции. Если система находится в состоянии:
ψ = ∑iciϕi
где ϕi — собственные состояния наблюдаемой величины, а ci — комплексные коэффициенты, то вероятность обнаружить систему в состоянии ϕi равна |ci|2. При этом среднее значение наблюдаемой величины определяется суммой по всем собственным значениям с весами |ci|2.
Эволюция волновой функции описывается уравнением Шрёдингера:
$$ i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H} \psi $$
где Ĥ — гамильтониан системы. Поскольку уравнение линейно, суперпозиции состояний сохраняются во времени, а вероятностная интерпретация остаётся корректной на каждом этапе эволюции.
Коммутационные соотношения между операторами наблюдаемых величин напрямую приводят к принципу неопределённости. Для двух совместно несовместимых величин A и B:
[Â, B̂] = ÂB̂ − B̂Â ≠ 0
дисперсии удовлетворяют неравенству:
$$ \Delta A \cdot \Delta B \geq \frac{1}{2} |\langle [\hat{A}, \hat{B}] \rangle| $$
Это фундаментально ограничивает точность предсказания значений сразу двух величин, что является прямым следствием статистической природы квантовой механики.
Для систем, находящихся в смеси состояний, используется понятие плотности состояния ρ̂. Вероятность измерения значения a определяется как:
P(a) = Tr(ρ̂ |ϕa⟩⟨ϕa|)
Математическое ожидание любой наблюдаемой величины вычисляется через:
⟨A⟩ = Tr(ρ̂ Â)
Использование плотности состояния позволяет обрабатывать как чистые состояния, так и статистические смеси, что важно для термодинамических и химических приложений.
Статистическая интерпретация критически важна для описания электронных облаков в атомах и молекулах. Распределение электронной плотности |ψ(r)|2 определяет вероятностное пространство, в котором химические реакции и межмолекулярные взаимодействия реализуются. Энергетические уровни, спектральные линии и химические свойства молекул напрямую связаны с вероятностными характеристиками квантовых состояний.
Использование статистического формализма обеспечивает основу для методов молекулярной орбитали, теории возмущений и методов Хартри–Фока, позволяя вычислять энергетические уровни и вероятность переходов с высокой точностью.