Основные положения Гармонический осциллятор является фундаментальной моделью в квантовой химии и квантовой механике, описывающей движение частицы в потенциальной яме, пропорциональной квадрату отклонения от положения равновесия. Потенциальная энергия такого осциллятора выражается как:
$$ V(x) = \frac{1}{2} k x^2 $$
где k — константа жёсткости, x — отклонение координаты частицы от положения равновесия. Эта модель применяется для описания колебаний атомов в молекулах, фононов в кристаллах и даже в приближенных теориях молекулярных орбиталей.
Уравнение Шрёдингера для осциллятора В одномерном случае стационарное уравнение Шрёдингера имеет вид:
Ĥψ(x) = Eψ(x)
с гамильтонианом:
$$ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2} k x^2 $$
Решение уравнения приводит к дискретному спектру энергии:
$$ E_n = \hbar \omega \left(n + \frac{1}{2}\right), \quad n = 0, 1, 2, \dots $$
где $\omega = \sqrt{k/m}$ — собственная частота колебаний, а n — квантовое число, определяющее энергетический уровень.
Собственные функции Собственные функции ψn(x) гармонического осциллятора выражаются через многочлены Эрмита:
$$ \psi_n(x) = \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x\right) e^{- \frac{m \omega x^2}{2\hbar}} $$
где Hn — многочлен Эрмита степени n. Эти функции образуют ортонормированное множество, что позволяет разлагать произвольное квантовое состояние в виде суперпозиции собственных состояний.
Квантование энергии и нулевые колебания Минимальная энергия гармонического осциллятора $E_0 = \frac{1}{2} \hbar \omega$ не равна нулю. Это отражает принцип неопределённости Гейзенберга: частица не может одновременно иметь точные координату и импульс, поэтому даже в основном состоянии присутствуют так называемые нулевые колебания.
Операторы рождения и уничтожения Гармонический осциллятор удобно описывать с помощью операторов:
$$ \hat{a} = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} \left( \hat{x} + \frac{i}{m \omega} \hat{p} \right), \quad \hat{a}^\dagger = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} \left( \hat{x} - \frac{i}{m \omega} \hat{p} \right) $$
Они удовлетворяют коммутационному соотношению [â, â†] = 1. Применение этих операторов к собственным состояниям |n⟩ позволяет строить все возбужденные состояния:
$$ \hat{a}^\dagger |n\rangle = \sqrt{n+1}\, |n+1\rangle, \quad \hat{a} |n\rangle = \sqrt{n}\, |n-1\rangle $$
Гамильтониан через эти операторы записывается компактно:
$$ \hat{H} = \hbar \omega \left( \hat{a}^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2} \right) $$
что делает анализ спектра энергии и динамики колебаний более удобным и наглядным.
Применение в химии Гармонический осциллятор используется для описания колебательных спектров молекул. Приближение гармонической потенциальной ямы эффективно для малых отклонений от равновесного положения, что лежит в основе модели нормальных колебаний молекул. Энергетические различия между уровнями ΔE = ℏω определяют спектры поглощения и излучения инфракрасного диапазона. Коррекция с учетом ангармоничности позволяет более точно описывать реальные молекулы, но основная физическая картина строится на гармоническом осцилляторе.
Фазовое пространство и квантовые флуктуации Классическое описание осциллятора в фазовом пространстве с координатой и импульсом переходит в квантовую картину через соотношение неопределённости. Волновая функция в фазовом представлении демонстрирует распределение вероятностей колебаний, показывая, что частица никогда не находится строго в равновесии и всегда демонстрирует флуктуации, даже в основном состоянии.
Обобщение на многомерные системы Для многоатомных молекул гармонический осциллятор расширяется на многомерные пространства, где гамильтониан включает сумму по всем нормальным модам:
$$ \hat{H} = \sum_i \hbar \omega_i \left(\hat{a}_i^\dagger \hat{a}_i + \frac{1}{2}\right) $$
Это позволяет моделировать сложные колебательные спектры и взаимодействия между различными модами. Многомерный гармонический осциллятор является основой теории нормальных мод молекул и фононов кристаллов.