Частица в трехмерной потенциальной яме

Математическая постановка задачи

Рассматривается частица с массой m, заключённая в потенциальную яму с жёсткими стенками в трёх измерениях. Пусть размеры ямы вдоль координат x, y, z равны Lx, Ly, Lz. Потенциальная энергия частицы внутри ямы равна нулю:

$$ V(x,y,z) = \begin{cases} 0, & 0 < x < L_x, \; 0 < y < L_y, \; 0 < z < L_z, \\ \infty, & \text{иначе.} \end{cases} $$

Уравнение Шрёдингера для стационарного состояния принимает вид:

$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(x,y,z) = E \psi(x,y,z), $$

с граничными условиями:

ψ(0, y, z) = ψ(Lx, y, z) = ψ(x, 0, z) = ψ(x, Ly, z) = ψ(x, y, 0) = ψ(x, y, Lz) = 0.

Метод разделения переменных

Предполагается, что волновая функция может быть представлена в виде произведения функций одной переменной:

ψ(x, y, z) = X(x)Y(y)Z(z).

Подставляя это выражение в уравнение Шрёдингера и разделяя переменные, получаем три одномерных уравнения:

$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 X}{dx^2} = E_x X(x), \quad -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 Y}{dy^2} = E_y Y(y), \quad -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 Z}{dz^2} = E_z Z(z), $$

где E = Ex + Ey + Ez.

Собственные функции и уровни энергии

Решения одномерных уравнений для жёсткой ямы известны:

$$ X_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L_x}} \sin \frac{n \pi x}{L_x}, \quad Y_m(y) = \sqrt{\frac{2}{L_y}} \sin \frac{m \pi y}{L_y}, \quad Z_l(z) = \sqrt{\frac{2}{L_z}} \sin \frac{l \pi z}{L_z}, $$

где n, m, l = 1, 2, 3, ….

Энергетические уровни выражаются формулой:

$$ E_{nml} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m} \left( \frac{n^2}{L_x^2} + \frac{m^2}{L_y^2} + \frac{l^2}{L_z^2} \right). $$

Деградация уровней и вырожденность

Для кубической ямы (Lx = Ly = Lz = L) некоторые энергии совпадают для различных комбинаций n, m, l. Например:

$$ E_{112} = E_{121} = E_{211} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m L^2} (1^2 + 1^2 + 2^2) = \frac{6 \hbar^2 \pi^2}{2 m L^2}. $$

Такая вырожденность отражает симметрию кубической ямы и имеет фундаментальное значение при анализе спектров и статистических свойств систем.

Плотность вероятности и распределение частицы

Квадрат модуля волновой функции |ψnml(x, y, z)|2 характеризует пространственное распределение вероятности нахождения частицы. Максимумы функции соответствуют “узлам” и “пучностям” внутри ямы:

  • Чем выше квантовые числа n, m, l, тем больше число узлов по соответствующей координате.
  • Распределение вероятности симметрично относительно центра ямы.

Применение в химии

Модель трёхмерной потенциальной ямы служит базовой для:

  • Анализа электронных уровней в нанокристаллах и квантовых точках.
  • Квантово-химического моделирования частиц в кристаллических решётках с локальными потенциалами.
  • Приближённых расчётов спектров возбуждённых состояний молекул, где электрон локализован в ограниченном пространстве.

Особенности переходов между уровнями

Энергетические переходы между стационарными состояниями подчиняются квантовым правилам:

  • Изменение квантовых чисел определяет доступные линии спектра.
  • Для симметричных ям некоторые переходы запрещены по правилам отбора, что проявляется в сплошной или вырожденной структуре спектра.

Классический предел и соответствие

При больших квантовых числах n, m, l ≫ 1 распределение вероятности |ψnml(x, y, z)|2 усредняется и приближается к равномерному распределению, что согласуется с классической механикой. Это проявление принципа соответствия: квантовая модель постепенно превращается в классическую при высоких энергиях.

Обобщения

  • Модель может быть расширена до анизотропных ям (Lx ≠ Ly ≠ Lz), что позволяет описывать реальные кристаллические среды.
  • Возможны модификации с конечными потенциалами стенок, что учитывает туннельный эффект.
  • Модель служит основой для построения более сложных систем, включая многочастичные ямы и взаимодействующие электроны.

Чёткая аналитическая структура решений трёхмерной потенциальной ямы делает её фундаментальной для квантовой химии, как инструмент для понимания природы дискретных энергетических уровней, пространственных распределений и вырожденности состояний в атомных и молекулярных системах.

Оглавление