Одномерная бесконечно глубокая потенциальная яма представляет собой идеализированную модель, в которой частица может двигаться вдоль одной координаты x внутри области [0, L], а за её пределами потенциальная энергия стремится к бесконечности:
$$ V(x) = \begin{cases} 0, & 0 < x < L \\ \infty, & x \le 0 \text{ или } x \ge L \end{cases} $$
Эта модель позволяет изучать квантование энергии и свойства волновых функций в ограниченном пространстве без внешних сил, кроме жёстких границ.
Внутри ямы частица испытывает нулевой потенциал, поэтому стационарное уравнение Шрёдингера принимает вид:
$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = E \psi(x), $$
где m — масса частицы, ψ(x) — волновая функция, E — энергия частицы.
Граничные условия, вытекающие из бесконечного потенциала, строго фиксируют волновую функцию на краях ямы:
ψ(0) = ψ(L) = 0.
Эти условия гарантируют, что вероятность нахождения частицы вне ямы равна нулю.
Общее решение дифференциального уравнения в области 0 < x < L имеет вид:
ψ(x) = Asin (kx) + Bcos (kx),
где $k = \sqrt{2mE}/\hbar$. Применение граничных условий даёт B = 0 и дискретные значения kn:
$$ k_n = \frac{n \pi}{L}, \quad n = 1, 2, 3, \dots $$
Таким образом, собственные функции принимают вид:
$$ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right), $$
а соответствующие дискретные энергии равны:
$$ E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2 m L^2}, \quad n = 1, 2, 3, \dots $$
Ключевой момент: энергия частицы квантуется, а n называется квантовым числом. Нижняя энергия E1 — это энергия основного состояния, её невозможно уменьшить до нуля.
Волновая функция должна удовлетворять условию нормировки:
∫0L|ψn(x)|2dx = 1.
Для функций $\psi_n(x) = \sqrt{2/L} \sin(n \pi x / L)$ это условие выполняется автоматически, что гарантирует корректную вероятностную интерпретацию.
Квадрат модуля волновой функции |ψn(x)|2 определяет плотность вероятности нахождения частицы в точке x. Для основного состояния (n = 1) максимальная вероятность находится в середине ямы (x = L/2), а на краях вероятность равна нулю. Для возбужденных состояний (n > 1) возникают узлы — точки, где |ψn(x)|2 = 0.
Энергии растут квадратично с увеличением квантового числа n:
En ∝ n2.
Это отражает характерное свойство ограниченных квантовых систем: разрыв между уровнями увеличивается с ростом энергии, что контрастирует с классическим свободным движением, где энергия может изменяться непрерывно.
В модели бесконечно глубокой ямы туннелирование невозможно из-за бесконечных стенок. Реальные потенциалы конечной высоты позволяют частице частично проникать за пределы ямы, что приводит к эффекту туннелирования и смещению энергии уровней. Тем не менее, бесконечно глубокая яма остаётся фундаментальной моделью для понимания базовых принципов квантовой механики.
Энергии уровней обратно пропорциональны массе частицы и квадрату длины ямы:
$$ E_n \sim \frac{1}{m L^2}. $$
Уменьшение массы или длины ямы приводит к увеличению разрывов между уровнями энергии, что особенно важно при анализе квантовых эффектов в наноструктурах и молекулах.
Модель используется для описания:
Бесконечно глубокая потенциальная яма служит базовой концептуальной моделью, на которой строятся более сложные и реалистичные описания молекулярной и наноструктурной квантовой химии.