Индексы Миллера и кристаллографические плоскости

Понятие кристаллографических плоскостей Кристаллографические плоскости представляют собой воображаемые или реальные плоскости, проходящие через узлы кристаллической решётки. Они служат основой для описания структуры кристалла, анализа роста кристаллов, изучения их физических свойств и процессов диффузии. Плоскости характеризуются ориентацией относительно осей решётки и атомного расположения в узлах.

Определение индексов Миллера Индексы Миллера — это три целых числа (hkl), которые однозначно идентифицируют конкретную кристаллографическую плоскость в кристалле. Они введены У. Миллером в XVIII веке для систематизации описания плоскостей. Методика их определения основана на пересечении плоскости с осями кристаллической решётки:

1. Определяются координаты точек пересечения плоскости с осями (a), (b), (c).
2. Берутся обратные величины этих координат (если плоскость параллельна оси, её пересечение считается бесконечностью, обратная величина — ноль).
3. Полученные дроби приводятся к наименьшему общему целому числу для получения индексов (hkl).

Примеры индексов Миллера

• Плоскость, пересекающая оси в точках (a), (b/2), (c) имеет индексы Миллера ((1, 2, 1)).
• Плоскость, параллельная оси z и пересекающая x и y в единичных единицах решётки, имеет индексы ((1, 1, 0)).

Особенности отрицательных индексов Если плоскость пересекает ось в отрицательном направлении, индекс указывается с чертой сверху: (({1}01)). Это позволяет точно указать ориентацию плоскости относительно всех осей.

Взаимосвязь с кристаллографической системой Индексы Миллера зависят от типа кристаллической решётки: кубической, тетрагональной, гексагональной и т.д. Для кубической системы индексы непосредственно связаны с длинами сторон куба и легко интерпретируются геометрически. В гексагональной системе используется четыре индекса (hkil), чтобы учесть трёхосевую симметрию основания.

Геометрическая интерпретация плоскостей Плоскости характеризуются направлением нормали и плотностью атомов на поверхности. Наиболее плотно упакованные плоскости в кристалле обладают минимальной энергией поверхности и определяют направления роста кристаллов. Например, в кубической решётке наиболее плотно упакованными являются плоскости {111}, а менее — {100}.

Применение индексов Миллера

1. Анализ дифракционных явлений. В рентгеноструктурном анализе индексы Миллера используются для обозначения отражённых пучков рентгеновских лучей. Законы Брегга связывают расстояние между плоскостями (d_{hkl}) и углы дифракции: [ n= 2d_{hkl}]
2. Ориентация кристаллов. При выращивании монокристаллов выбор плоскостей с заданными индексами позволяет контролировать форму и свойства кристалла.
3. Механические и физические свойства. Анизотропия твёрдых тел определяется различием свойств вдоль различных кристаллографических направлений и плоскостей.

Расстояние между плоскостями и плотность узлов Расстояние между плоскостями с индексами (hkl) в кубической решётке вычисляется по формуле: [ d_{hkl} = ] где (a) — параметр решётки. Плотность узлов на плоскости обратно пропорциональна площади ячейки, ограниченной плоскостью. Плоскости с меньшими индексами обычно имеют более высокую плотность узлов и большую стабильность.

Симметрия и эквивалентность плоскостей Плоскости с одинаковыми индексами, но различной ориентацией, эквивалентны в рамках симметрии кристалла. Например, в кубической решётке плоскости {100} включают все три направления x, y, z. Это свойство позволяет использовать сокращённые обозначения в структурном анализе и рентгенодифракции.

Заключение по роли индексов Миллера Индексы Миллера являются фундаментальным инструментом кристаллографии, обеспечивающим количественное описание ориентации плоскостей, анализ их свойств и взаимосвязь с физическими характеристиками кристаллов. Понимание этих индексов необходимо для исследования роста кристаллов, механических, оптических и электронных свойств материалов, а также для точного интерпретирования рентгеноструктурных данных.