Квантовые газы представляют собой совокупность частиц, свойства которых определяются законами квантовой статистики. В отличие от классических систем, где справедлива статистика Максвелла–Больцмана, поведение квантовых газов подчиняется распределениям Ферми–Дирака и Бозе–Эйнштейна. Основополагающим фактором является неразличимость частиц и их спиновая природа: фермионы (частицы с полуцелым спином) подчиняются принципу запрета Паули, тогда как бозоны (частицы с целым спином) могут занимать одно и то же квантовое состояние.
Ключевая характеристика квантового газа в термодинамическом описании — это статистическая сумма. Для ферми- и бозе-газа применяют гранканонический ансамбль, где основной величиной выступает термодинамический потенциал Ω:
Ω = −kBT∑iln (1 ± e−β(εi − μ)),
где εi — энергия i-го состояния, μ — химический потенциал, kB — постоянная Больцмана, β = 1/(kBT). Знак «−» относится к фермионам, «+» — к бозонам.
Из потенциала Ω выводятся все основные термодинамические функции: давление, внутренняя энергия, энтропия, теплоёмкость.
Функция среднего числа частиц в состоянии с энергией ε определяется статистикой:
$$ n(\varepsilon) = \frac{1}{e^{\beta (\varepsilon - \mu)} + 1}, $$
$$ n(\varepsilon) = \frac{1}{e^{\beta (\varepsilon - \mu)} - 1}. $$
Эти функции описывают фундаментальные различия: насыщение уровней у фермионов и возможность макроскопического заселения одного уровня у бозонов.
При низких температурах идеальный ферми-газ демонстрирует явление вырождения. Заполнение уровней энергий до уровня Ферми εF ведёт к существованию давления даже при абсолютном нуле температуры. Это давление вырождения является ключевым термодинамическим свойством ферми-газа и определяется как:
$$ P = \frac{2}{5} n \varepsilon_F, $$
где n — плотность частиц.
Вырождение приводит к тому, что внутренняя энергия при T → 0 остаётся ненулевой. Теплоёмкость вырожденного газа пропорциональна температуре, что резко отличается от классического случая.
В отличие от фермионов, бозоны могут конденсироваться в основное состояние при понижении температуры. Это явление называется бозе–эйнштейновской конденсацией. Критическая температура конденсации определяется выражением:
$$ T_c = \frac{2 \pi \hbar^2}{k_{B} m} \left( \frac{n}{\zeta(3/2)} \right)^{2/3}, $$
где m — масса частицы, ζ — дзета-функция Римана.
Ниже этой температуры значительная часть частиц сосредоточена в основном квантовом состоянии, что существенно изменяет термодинамические характеристики: теплоёмкость приобретает скачкообразный характер, а внутренняя энергия перестаёт следовать классическим законам.
Для обоих типов квантовых газов давление выражается через статистические интегралы:
$$ P = \frac{g}{\Lambda^3} k_{B} T \, f_{5/2}(z), $$
где g — статистическая кратность, $\Lambda = \left(\frac{2 \pi \hbar^2}{m k_{B} T}\right)^{1/2}$ — термическая длина волны де Бройля, z = eβμ — активность, а fs(z) — специальные функции Ферми–Дирака и Бозе–Эйнштейна.
Для ферми-газа в пределе высоких температур уравнение состояния переходит в классическое: PV = NkBT. Для бозе-газа при температурах ниже критической возникает дополнительный член, связанный с конденсированной фазой.
Поведение энтропии и теплоёмкости в квантовых газах отражает принципиальные квантовые эффекты.
Эти особенности являются важнейшими термодинамическими сигнатурами квантовых систем.
Квантовые газы играют важную роль в описании поведения электронов в металлах, нейтронов в звёздных объектах, фононов и магнонов в твёрдых телах. Их термодинамические свойства определяют многие макроскопические явления: электропроводность, сверхпроводимость, сверхтекучесть. Химическая термодинамика использует аппарат статистической физики для количественного описания этих процессов, позволяя связать микроскопическую природу частиц с наблюдаемыми термодинамическими характеристиками.