Статистика Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна

Термодинамическое описание систем большого числа частиц требует использования статистических методов. В классической области справедлива статистика Максвелла–Больцмана, в которой частицы считаются различимыми и вероятность нахождения частицы в определённом энергетическом состоянии не зависит от других. Однако для микрочастиц, подчиняющихся квантовой механике, необходимо учитывать принцип неразличимости и ограничения, накладываемые квантовой природой. Эти факторы приводят к появлению двух фундаментальных распределений: Ферми–Дирака для частиц с полуцелым спином и Бозе–Эйнштейна для частиц с целым спином.

Фундаментальное различие фермионов и бозонов

• Фермионы (электроны, протоны, нейтроны, кварки) обладают полуцелым спином и подчиняются принципу Паули: два фермиона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии.
• Бозоны (фотоны, фононы, мезоны, атомы гелия-4) обладают целым спином и могут занимать одно и то же квантовое состояние в произвольном числе.

Именно эти различия определяют вид статистических распределений и макроскопическое поведение систем.

Вывод статистики Ферми–Дирака

Для системы неразличимых частиц с полуцелым спином вероятность нахождения уровня энергии ε_i с кратностью g_i в состоянии с n_i частицами подчиняется комбинаторике, учитывающей запрет Паули. Максимально допустимое заполнение каждого состояния равно единице.

Функция распределения принимает вид:

$$ f(\varepsilon) = \frac{1}{e^{(\varepsilon - \mu)/kT} + 1}, $$

где μ — химический потенциал, k — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура.

Ключевая особенность заключается в том, что при T → 0 все уровни с энергией меньше так называемого уровня Ферми ε_F оказываются заполненными, а выше — пустыми. Эта структура определяет свойства электронного газа в металлах и поведение вырожденных астрофизических объектов, например белых карликов.

Вывод статистики Бозе–Эйнштейна

Для бозонов не существует запрета на совместное нахождение в одном квантовом состоянии. Это приводит к распределению:

$$ f(\varepsilon) = \frac{1}{e^{(\varepsilon - \mu)/kT} - 1}. $$

Главная особенность — возможное макроскопическое заселение основного состояния при низких температурах. При достижении критической температуры T_c значительная часть частиц переходит в одно и то же квантовое состояние, что приводит к явлению конденсации Бозе–Эйнштейна.

Химический потенциал и различия распределений

• Для фермионов химический потенциал при низких температурах положителен и стремится к энергии Ферми.
• Для бозонов химический потенциал всегда меньше или равен нулю, при приближении к T_c он стремится к нулю сверху.

Именно различие в поведении химического потенциала объясняет качественное отличие макроскопических явлений, связанных с данными распределениями.

Термодинамические функции в квантовой статистике

Внутренняя энергия определяется интегралом:

U = ∫₀^∞ε g(ε)f(ε) dε,

где g(ε) — плотность энергетических состояний.

Свободная энергия Гельмгольца и энтропия получаются из статистической суммы с учётом квантовой статистики.

Для ферми- и бозе-систем характерны различные температурные зависимости теплоёмкости:

• У электронного газа в металле при низких температурах C_V ∝ T.
• У бозе-систем наблюдается резкий скачок теплоёмкости вблизи температуры конденсации.

Примеры физических систем

• Ферми–Дирак: электроны в металлах и полупроводниках, нейтронный газ в нейтронных звёздах.
• Бозе–Эйнштейн: фотоны в излучении абсолютно чёрного тела, атомы в конденсате Бозе–Эйнштейна, фононы в кристаллах.

Макроскопические проявления

• Статистика Ферми–Дирака лежит в основе понятия вырожденного газа и определяет электронные свойства твёрдых тел.
• Статистика Бозе–Эйнштейна объясняет суперпроводимость и сверхтекучесть, связанные с образованием конденсированных состояний.

Таким образом, два типа квантовой статистики представляют фундаментальную основу химической термодинамики в микромасштабах, обеспечивая объяснение свойств вещества при экстремальных условиях и раскрывая природу фазовых переходов, невозможных в классической картине.