Атом водорода является фундаментальной системой в квантовой механике, поскольку его структура и энергетические уровни могут быть точно описаны с использованием уравнения Шредингера. Уравнение Шредингера для одного электрона в кулоновском потенциале ядра имеет вид:
[ () = E (),]
где гамильтониан системы:
[ = - ^2 - .]
Здесь () — редуцированная постоянная Планка, (m_e) — масса электрона, (e) — заряд электрона, (r) — расстояние от ядра, (_0) — диэлектрическая проницаемость вакуума.
Для решения уравнения используют сферическую систему координат ((r, , )). Волновая функция представляется как произведение радиальной и угловой части:
[ (r, , ) = R(r) Y(, ),]
где (Y(, )) — сферические гармоники, описывающие угловую зависимость, а (R(r)) — радиальная функция, зависящая от квантового числа (n).
Сферические гармоники (Y_l^m(, )) являются собственными функциями операторов (L^2) и (L_z):
[ L^2 Y_l^m = ^2 l(l+1) Y_l^m, L_z Y_l^m = m Y_l^m,]
где (l = 0, 1, , n-1) — орбитальное квантовое число, (m = -l, , l) — магнитное квантовое число. Они определяют форму электронного облака и ориентацию его в пространстве.
Радиальное уравнение Шредингера для атома водорода имеет вид:
[ + u(r) = 0,]
где (u(r) = r R(r)). Решения этого уравнения приводят к дискретной системе энергетических уровней:
[ E_n = - = - , n = 1, 2, 3, ]
Радиальные функции выражаются через обобщённые лагранжевы полиномы (L_{n-l-1}^{2l+1}()):
[ R_{nl}(r) = , e^{-/2} ^l L_{n-l-1}^{2l+1}(),]
где (= ), (a_0 = ) — радиус Бора.
Система квантовых чисел ((n, l, m)) полностью характеризует электронное состояние атома:
Состояния с одинаковым (n), но разными (l) и (m) обладают одинаковой энергией — это явление называют энергетической вырождённостью.
Волновые функции (_{nlm}(r, , )) описывают распределение вероятности нахождения электрона:
[ (r, , ) = |_{nlm}(r, , )|^2.]
Различие энергий уровней приводит к спектральным линиям:
[ E = E_{n_2} - E_{n_1} = h ,]
что лежит в основе линейчатых спектров водорода (серия Лаймана, Бальмера, Пасена). Квантовое описание атома водорода позволяет точно предсказать положения спектральных линий и их интенсивность, что подтверждается экспериментально.
Учет спинового момента электрона ((s = 1/2)) приводит к расщеплению уровней (эффект Зеемана, эффект Штерна–Герлаха) и появлению тонкой структуры спектров. Полное описание включает спин-орбитальное взаимодействие, выражаемое через оператор:
[ _{SO} = (r) .]
Эти поправки вносят уточнения в энергетические уровни, что особенно важно для точной спектроскопии.
Решение уравнения Шредингера для атома водорода формирует основу для понимания:
Волновые функции, радиальные и угловые распределения позволяют моделировать форму молекул, плотность электронов и зоны химической активности, что лежит в основе современной химии и материаловедения.