Понятие пространственных групп симметрии
Пространственные группы симметрии описывают полное множество симметрий
кристаллических решёток, включающее трансляции, вращения, отражения и
комбинации этих операций. В отличие от точечных групп, которые учитывают
только симметрию фигуры относительно фиксированной точки,
пространственные группы учитывают периодичность кристалла в трёх
измерениях.
Каждая пространственная группа является математическим описанием
повторяющегося узора атомов в кристалле и характеризуется фиксированной
симметрией, сохраняющей структуру при всех преобразованиях. Всего
существует 230 уникальных пространственных групп, каждая из которых
соответствует определённой кристаллической системе и симметрии
решётки.
Основные элементы симметрии в пространственных
группах
- Трансляции — перенос кристаллической решётки на
вектор, кратный элементарной ячейке. Трансляции являются
фундаментальными для всех кристаллов и обеспечивают их
периодичность.
- Оси вращения — линии, вокруг которых кристалл может
быть повернут на кратные углы 360°/n, сохраняя идентичность структуры.
Возможны 1-, 2-, 3-, 4- и 6-кратные оси.
- Плоскости зеркал — симметрия отражения относительно
плоскости.
- Центры инверсии — точки, относительно которых
каждый атом имеет зеркальный аналог на противоположной стороне.
- Винтовые оси — комбинация вращения и параллельной
трансляции вдоль оси. Обозначаются как n₁, n₂, где n — порядок вращения,
а под индексом указывается доля элементарной ячейки трансляции.
- Скользящие плоскости — комбинация отражения и
параллельной трансляции.
Классификация пространственных групп по кристаллическим
системам Пространственные группы делятся на семь
кристаллографических систем: кубическую, тетрагональную,
орторомбическую, моноклинную, триклинную, ромбическую (гексагональную) и
тригональную. Каждая система определяется своими симметрическими
ограничениями и характерными элементами:
- Кубическая система: высокая симметрия, включает 36
пространственных групп, характеризуется равными рёбрами и прямыми
углами.
- Тетрагональная система: одна четырёхкратная ось,
две другие оси равны между собой; 68 пространственных групп.
- Орторомбическая система: три взаимно
перпендикулярные оси разной длины; 59 пространственных групп.
- Моноклинная система: две оси перпендикулярны,
третья наклонена; 13 пространственных групп.
- Триклинная система: три оси разной длины и наклона;
2 пространственные группы.
- Гексагональная система: одна шестикратная ось и
шесть двухкратных осей; 27 пространственных групп.
- Тригональная система: одна трёхкратная ось и три
двухкратные оси; 5 пространственных групп.
Обозначение и символика пространственных групп
Пространственные группы традиционно обозначаются символами Шёнфлиса,
включающими буквы и цифры, которые отражают тип решётки и элементы
симметрии. Например, обозначение P2₁/c указывает:
- P — примитивная решётка (atoms only at corners of unit cell),
- 2₁ — винтовая ось второго порядка,
- c — скользящая плоскость в направлении c.
Роль пространственных групп в кристаллографии Знание
пространственной группы позволяет:
- Определять точное расположение атомов в элементарной ячейке.
- Проводить анализ дифракционных данных (рентгеновская, нейтронная
дифракция).
- Предсказывать физические свойства кристалла, такие как оптические
анизотропии, пьезоэлектрические и ферроэлектрические эффекты.
- Классифицировать материалы по симметрии, что важно для разработки
новых функциональных кристаллов.
Особенности и ограничения Не все элементы симметрии
точечной группы могут присутствовать в кристалле из-за ограничений
периодичности. Например, кристалл не может иметь пяти- или десятикратную
ось вращения в трёхмерной периодической решётке. Такие элементы
допускаются только в квазикристаллах, которые не обладают полной
трансляционной периодичностью.
Пространственные группы и физические свойства
Симметрия кристалла напрямую влияет на его физические свойства:
- Электрические свойства: только
несентросимметрические группы могут проявлять пьезоэлектрические
эффекты.
- Оптические свойства: наличие определённых
зеркальных плоскостей и осей вращения определяет возможность двойного
лучепреломления.
- Механические свойства: симметрия решётки влияет на
анизотропию твёрдого тела, определяя различие жёсткости по разным
направлениям.
Пространственные группы симметрии формируют основу систематического
изучения кристаллов, обеспечивая математическую строгость и
универсальный язык для описания структурных закономерностей в твёрдых
телах.